Понятие величина в математике

Величина

Значения в других словарях

  1. величина — орф. величина, -ы, мн. -ины, -ин Орфографический словарь Лопатина
  2. величина — ВЕЛИЧИН’А, величины, мн. величины, величинам (·книж.), и (·разг.) величины, величинам, ·жен. 1. только ед. Размер, объем, протяжение вещи. Величина стола достаточная. Комната громадной величины. 2. Всё, что можно измерить и исчислить (мат. физ.). Толковый словарь Ушакова
  3. величина — См. великий Толковый словарь Даля
  4. величина — -ы, мн. -чины, ж. 1. Размер, объем, протяженность чего-л. Это пароход морского типа средней величины. Чехов, Остров Сахалин. Иволги, красивые оранжево-желтые птицы, величиной с голубя, сидели на высоких деревьях. Арсеньев, По Уссурийской тайге. Малый академический словарь
  5. величина — Велич/ин/а́. Морфемно-орфографический словарь
  6. величина — : величиной в и величиной с. 1. величиной в (при выражении в единицах измерения). • Участок величиной в два гектара. 2. величиной с ( при указании на предмет, к которому приравнивается по размерам другой предмет). Иволги, красивые оранжево-желтые птицы, величиной с голубя (Арсеньев). Управление в русском языке
  7. величина — ВЕЛИЧИНА, ы, мн. ины, ин, ж. 1. Размер, объём, протяжённость предмета. Площадь большой величины. Измерить величину чего-н. 2. То, что можно измерить, исчислить. Равные величины. 3. О человеке, выдающемся в какой-н. области деятельности. Этот учёный мировая в. Толковый словарь Ожегова
  8. Величина — Одно из основных математических понятий, смысл которого с развитием математики подвергался ряду обобщений. I. Ещё в «Началах» Евклида (3 в. до н. э.) были отчётливо сформулированы свойства… Большая советская энциклопедия
  9. величина — сущ., ж., употр. сравн. часто (нет) чего? величины, чему? величине, (вижу) что? величину, чем? величиной, о чём? о величине; мн. что? величины, (нет) чего? величин, чему? величинам, (вижу) что? величины, чем? величинами, о чём? о величинах… Толковый словарь Дмитриева
  10. величина — Количественная характеристика размеров, явлений, признаков, показателей их соотношения, степени изменения, взаимосвязи. Различают абсолютные В., относительные В., средние… Большой бухгалтерский словарь
  11. величина — Величина, величины, величины, величин, величине, величинам, величину, величины, величиной, величиною, величинами, величине, величинах Грамматический словарь Зализняка
  12. величина — • значительная ~ • крупная ~ • максимальная ~ • наибольшая ~ • необыкновенная ~ • непомерная ~ • огромная ~ Словарь русской идиоматики
  13. величина — ВЕЛИЧИНА -ы; мн. -чины; ж. 1. только ед. Размер (объём, площадь, протяжённость и т.п.) какого-л. объекта, предмета, имеющего видимые физические границы. В. здания. В. стадиона. Величиной с булавку. Величиной в ладонь. Отверстие большей величины. Толковый словарь Кузнецова
  14. ВЕЛИЧИНА — ВЕЛИЧИНА — в математике -1) обобщение конкретных понятий: длины, площади, веса и т. п. Выбрав одну из величин данного рода за единицу измерения, можно выразить числом отношение любой другой величины того же рода к единице измерения. Большой энциклопедический словарь
  15. величина — величина I ж. 1. Одно из основных математических понятий, отражающее идею измерения меняющихся объектов. 2. Протяженность, объём, размер чего-либо. 3. Количество чего-либо, имеющего ценность в денежном выражении. Толковый словарь Ефремовой
  16. величина — Размер, формат, калибр, доза, рост, объем, протяжение ср. !! количество см. >> количество см. также -> звезда первой величины Словарь синонимов Абрамова
  17. величина — сущ., кол-во синонимов… Словарь синонимов русского языка

Методика знакомства дошкольников с терминами «множество», «элемент множества», «часть множества» (часть 2)

Игра «Мы одинаковые».

Цель: упражнять детей в количественном счёте, в ориентировке на себе (чего у любого человека по 1, по 2, по 5, по 10, помногу; в знании расположения в теле человека некоторых внутренних органов).

Материал: мяч.

Ход игры

Воспитатель говорит детям, что все мы (и взрослые, и дети) — люди. У нас очень много одинакового. Каждый человек похож друг на друга.

Проводится стартовая линия. Вдоль неё выстраиваются дети. Ведущий поочерёдно бросает каждому мяч и задаёт вопросы.

Вариант 1.

а) Сколько рук у человека? Сколько пальцев на руке? А сколько на одной ноге? Сколько ног? И т.д.

б) Чего у человека по 1, по 2, по 5, по 10, помногу?

Вариант 2.

в) Голова у человека вверху или внизу? Справа или слева? Спереди или сзади?

Ноги: вверху или внизу? Справа или слева? Спереди или сзади?

Спина: вверху или внизу? Справа или слева? Спереди или сзади?

Сердце: снаружи или внутри? Внутри справа или внутри слева? И т.д.

Вариант 3.

г) Все дети любят… (играть, веселиться и т.д.).

Все дети могут… Этот вопрос задаётся каждому играющему ребёнку.

Вариант 4.

Вопрос может быть задан так: «Каждый ребёнок может… Каждый ребёнок любит… Каждый человек (ребёнок) хочет… Человек может съесть (называются съедобные и несъедобные предметы)…»

После правильного ответа ребёнок бросает мяч ведущему и делает шаг вперёд. Если ребёнок ответил неправильно, он бросает мяч ведущему, но остаётся на месте.

Тот, кто пересёк финишную линию, становится ведущим. Игра начинается сначала.

Данный этап является подготовительным для введения основных понятий.

II этап алгоритмизирован пошаговым введением основных понятий: «множество», «элемент множества», «часть множества». Понятие «множество» вводится как замена слову «много», следуя определённому алгоритму обучения:

1) Воспитатель задаёт вопросы: «Кого у нас в группе много? Дети разные или одинаковые? Чем они не похожи? Чем похожи?»

2) Педагог делает вывод: дети разные, но и Таня, и Коля, и Серёжа, и… — дети. Задаёт вопрос: «Почему мы их называем одним словом «дети»?»

3) Затем воспитатель ставит аналогичные вопросы об окружающих детей предметах: «Чего в группе много? (например, игрушек). Игрушки разные или одинаковые? Чем они не похожи? Чем похожи? Почему их можно назвать одним словом «игрушки»?»

4) Вывод педагога: игрушки разные. Их много, но мы их называем одним словом «игрушки», потому что с ними можно играть.

5) Воспитатель объясняет, что в математике есть слово, которым можно заменить слово «много» — это слово «множество».

6) Воспитатель вновь возвращает ко множеству детей группы и предлагает им заменить слово «много» на слово «множество», сказать так, как говорят математики: много детей — множество детей, много игрушек — множество игрушек, много растений — множество растений и т.п.

Упражнение детей в назывании множеств проводится через игру «Назови по-другому». Можно использовать различные ситуации: наблюдение явлений природы, рассматривание иллюстраций, обследование геометрических фигур, счёт предметов, дежурство в уголке природы, в столовой и т.д. Таким образом, слово вводится в словарь, в обиход, становится привычным. Данный подход позволяет подвести сознание детей к тому, что словом «множество» можно обозначать любые группы предметов, если у них есть какое-то общее свойство или признак.

Следующее выражение, с которым следует познакомить детей, — это «элемент множества». Введение данного выражения связано с процессом выделения единичного элемента из множества. Алгоритм обучения строится следующим образом:

1) Воспитатель задаёт вопрос: «Кого в группе много?» (Детей.) «Назовите это множество. Разные дети или одинаковые? Чем они не похожи?» При назывании различных свойств, признаков следует остановиться на том, что имена детей разные.

2) Воспитатель выбирает ребёнка, имя которого не повторяется в группе детей: например, Кристина. Задаёт вопрос: «Сколько у нас детей с именем Кристина?» Кристина одна во множестве детей. Мы можем сказать так, как об этом говорится в математике: «Кристина одна во множестве детей, значит, она — элемент множества детей». В случае, когда имя повторяется дважды, трижды, можно обратить внимание на фамилию детей. В другой раз обращается внимание на цвет глаз или на особенность одежды, или на увлечение, или на любимую игрушку и т.п. В любом случае подчёркивается уникальность, единственность, неповторимость каждого ребёнка в группе.

Затем воспитателю следует переходить к аналогичному анализу предметных множеств в группе.

Действие выделения элементов из множества и составления множества из элементов закрепляется в играх и игровых упражнениях «Угадай», «Магазин», «Покупки», «Сад и огород» и т.п. Детям можно задавать домашние задания (для выполнения самостоятельно или с родителями) типа «Найди дома какое-либо множество, назови его и нарисуй его элементы».

Выражение «часть множества» вводится посредством следующего алгоритма:

1) Воспитатель просит детей ответить на вопросы: «Кого в группе много? Назовите это множество. Разные дети или одинаковые? Чем дети не похожи друг на друга? Чем похожи?»

2) Затем задаёт следующее задание: каждому надо придумать способ разделить множество детей на две части и объяснить, почему надо делить именно так. Детям даётся минута на обдумывание, а затем выслушивается первый способ. Например: мальчики и девочки.

3) Воспитатель предлагает девочкам встать в красный круг, а мальчикам — в синий. Это необходимо, так как наглядно демонстрируется разделение множества и дети подводятся к обозначению в дальнейшем множества через круг.

4) Воспитатель задаёт следующие вопросы: «На сколько частей разделили множество детей? Назовите первую часть. Назовите вторую часть. Сколько элементов в первой части? Сколько во второй? В какой больше? В какой меньше? Как это проверить?» (Встать парами, протянуть ленты друг другу, пересчитать, провести по полу мелом линии и др.)

5) Далее выслушивается следующий способ разделения множества детей на две части (например, дети с красными флажками и дети с синими флажками; с бантиками и без бантиков; в сандаликах и не в сандаликах и т.п.). После его принятия аналогично должна анализироваться количественная характеристика частей, определяться их отношения.

Закрепление проходит в играх и игровых упражнениях типа «Наведи порядок», «Рассели животных», «Кому что?» и т.д. Для показа реального разделения множества на части можно использовать расставленные в разных местах группы стульчики, два коврика, на пол приклеивать цветную клейкую ленту, два разноцветных больших напольных «цветка» и другие атрибуты. На групповом участке — разделять линией, начерченной на земле или на асфальтовой дорожке, рисовать мелом линию или два круга большого размера и т.д.

Игра «Кому — что?».

Цель: закрепить представление детей о различных профессиях людей, о необходимых им предметах-орудиях.

Материал: мяч.

Ход игры

Вариант 1.

Дети становятся в круг. Ведущий с мячом становится в центр круга. Он бросает ребёнку мяч и называет какой-либо предмет. Ребёнку в ответ надо назвать человека той профессии, которому нужен этот предмет.

Дети становятся на одну линию. Вводится элемент соревнования. Содержание то же. Если ребёнок правильно называет профессию, то делает шаг вперёд и бросает мяч ведущему. Если не знает ответа или называет профессию неправильно, то бросает мяч ведущему, но остаётся на месте.

Кто первым дойдёт до финишной линии, становится ведущим.

Сформированное умение определять различные свойства и качества предметов и явлений окружающего мира, объединять их на этой основе во множества, называть множества, выделять в них элементы и части позволят в дальнейшем производить логические операции над множествами. О том, как помочь ребёнку этому научиться, наша следующая статья.

Житко И.

8. Одно из важнейших понятий математики

Похожие презентации

краткое содержание других презентаций на тему слайда

«Контроль по математике» — Задание 1а. Задача 1в. Сколько всего примеров задали Васе? Основные моменты. Решаемость задач по различным учебникам. Одна тетрадь стоит 7 р. 20 коп. Рубежный контроль проводится 24 апреля 2007 года на втором уроке. Задание 3. Задание 1б. Найдите площадь оставшейся части пластины. Решите уравнение. Распределение учебников всего (кроме Виленкина).

«Элективные курсы по математике» — Мог научиться демонстрировать свои успехи. 1. Избыточность; Цели обучения на элективных курсах в образовательной области «МАТЕМАТИКА» : Три составляющие учебного плана. Развитие уважения к книге (в первую очередь — учебной). Профильное обучение возможно строить лишь на прочном фундаменте основной школы.

«Развитие математики» — Математики Геометрии. Геометрия сводилась к правилам вычисления площадей и объемов. «Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении земли. 4. Период формирования геометрии Лобачевского. Евдем Родосский (4 в. до н. э.). На протяжении нескольких поколений геометрия складывалась в стройную систему.

«Математика 1 класс» — Образование числа 8. Послушай задачу и подними карточку с решением. Математика. 1класс. Поработаем с числовым рядом. Расшифруйте слова. Покажи соответствующее количество кружков: 3 5 2 1 7 6 Покажи количество кружков на 1 больше: 5 1 6 2 4 3. Семь маленьких котят. Сок. Насос Вы угадали все слова верно!

«Решение задач по математике» — Электронные гиперссылочные справочники. Межпредметные связи и приложения математики. Определение уровня подготовленности. Подготовка учащихся к участию в олимпиадах, соревнованиях и конкурсах по математике. Учебно-исследовательская деятельность способствует. Сложившаяся система обучения математике в средней школе.

Математика

Евклид. Деталь «Афинской школы» Рафаэля

Матема́тика (от др.-греч. μάθημα — изучение, наука) — наука о структурах, порядке и отношениях, которая исторически сложилась на основе операций подсчёта, измерения и описания форм реальных объектов. Математические объекты создаются путём идеализации свойств реальных или других математических объектов и записи этих свойств на формальном языке. Математика не относится к естественным наукам, но широко используется в них как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов. Математика — фундаментальная наука, предоставляющая (общие) языковые средства другим наукам; тем самым она выявляет их структурную взаимосвязь и способствует нахождению самых общих законов природы.

Основные сведения

Идеализированные свойства исследуемых объектов либо формулируются в виде аксиом, либо перечисляются в определении соответствующих математических объектов. Затем по строгим правилам логического вывода из этих свойств выводятся другие истинные свойства (теоремы). Эта теория в совокупности образует математическую модель исследуемого объекта. Таким образом первоначально, исходя из пространственных и количественных соотношений, математика получает более абстрактные соотношения, изучение которых также является предметом современной математики.

Традиционно математика делится на теоретическую, выполняющую углублённый анализ внутриматематических структур, и прикладную, предоставляющую свои модели другим наукам и инженерным дисциплинам, причём некоторые из них занимают пограничное с математикой положение. В частности, формальная логика может рассматриваться и как часть философских наук, и как часть математических наук; механика — и физика, и математика; информатика, компьютерные технологии и алгоритмика относятся как к инженерии, так и к математическим наукам и т. д. В литературе было предложено много различных определений математики (см. ниже).

Этимология

Слово «математика» произошло от др.-греч. μάθημα (máthēma), что означает изучение, знание, наука, и др.-греч. μαθηματικός (mathēmatikós), первоначально означающего восприимчивый, успевающий, позднее относящийся к изучению, впоследствии относящийся к математике. В частности, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), на латыни ars mathematica, означает искусство математики.

В текстах на русском языке слово «математика» или «мафематика» встречается по крайней мере с XVII века, например, у Николая Спафария в «Книге избранной вкратце о девяти мусах и о седмих свободных художествах» (1672 год)

Определения

Одно из первых определений предмета математики дал Декарт:

К области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звёзды, звуки или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера. Таким образом, должна существовать некая общая наука, объясняющая всё относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов, и эта наука должна называться не иностранным, но старым, уже вошедшим в употребление именем Всеобщей математики.

В советское время классическим считалось определение из БСЭ, данное А. Н. Колмогоровым:

Математика… наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

Это определение Энгельса; правда, далее Колмогоров поясняет, что все использованные термины надо понимать в самом расширенном и абстрактном смысле.

Формулировка Бурбаки:

Сущность математики… представляется теперь как учение об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств,— именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание теории… Математика есть набор абстрактных форм — математических структур.

Приведём ещё несколько современных определений.

Современная теоретическая («чистая») математика — это наука о математических структурах, математических инвариантах различных систем и процессов.

Математика — наука, предоставляющая возможность исчисления моделей, приводимых к стандартному (каноническому) виду. Наука о нахождении решений аналитических моделей (анализ) средствами формальных преобразований.

Герман Вейль пессимистически оценил возможность дать общепринятое определение предмета математики:

Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счёте математика, остаётся открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит в конце концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками.

«Математизирование» может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддаётся рационализации и не может быть объективным.

Разделы математики

Основная статья: Разделы математики

1. Математика как учебная дисциплина подразделяется в Российской Федерации на элементарную математику, изучаемую в средней школе и образованную дисциплинами:

  • арифметика,
  • элементарная алгебра
  • элементарная геометрия: планиметрия и стереометрия
  • теория элементарных функций и элементы анализа

и высшую математику, изучаемую на нематематических специальностях вузов. Дисциплины, входящие в состав высшей математики, варьируются в зависимости от специальности.

Программа обучения по специальности математика образована следующими учебными дисциплинами:

  • Математический анализ
  • Алгебра
  • Аналитическая геометрия
  • Линейная алгебра и геометрия
  • Дискретная математика
  • Математическая логика
  • Дифференциальные уравнения
  • Дифференциальная геометрия
  • Топология
  • Функциональный анализ и интегральные уравнения
  • Теория функций комплексного переменного
  • Уравнения в частных производных (вместо этого курса физикам читаются Методы математической физики)
  • Теория вероятностей
  • Математическая статистика
  • Теория случайных процессов
  • Вариационное исчисление и методы оптимизации
  • Методы вычислений, то есть численные методы
  • Теория чисел

2. Математика как специальность научных работников Министерством образования и науки Российской Федерации подразделяется на специальности:

  • Вещественный, комплексный и функциональный анализ
  • Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление
  • Математическая физика
  • Геометрия и топология
  • Теория вероятностей и математическая статистика
  • Математическая логика, алгебра и теория чисел
  • Вычислительная математика
  • Дискретная математика и математическая кибернетика

3. Для систематизации научных работ используется раздел «Математика» универсальной десятичной классификации (УДК).

4. Американское математическое общество (AMS) выработало свой стандарт для классификации разделов математики. Он называется Mathematics Subject Classification. Этот стандарт периодически обновляется. Текущая версия — это MSC 2010. Предыдущая версия — MSC 2000.

Обозначения

Основная статья: Математические обозначения

Вследствие того, что математика работает с чрезвычайно разнообразными и довольно сложными структурами, система обозначений также очень сложна. Современная система записи формул сформировалась на основе европейской алгебраической традиции, а также математического анализа (понятия функции, производной и т. д.). Геометрия испокон века пользовалась наглядным (геометрическим же) представлением. В современной математике распространены также сложные графические системы записи (например, коммутативные диаграммы), нередко также применяются обозначения на основе графов.

Краткая история

Основная статья: История математикиКипу, использовались инками для записи чисел

Академиком А. Н. Колмогоровым предложена такая структура истории математики:

  1. Период зарождения математики, на протяжении которого был накоплен достаточно большой фактический материал;
  2. Период элементарной математики, начинающийся в VI—V веках до н. э. и завершающийся в конце XVI века («Запас понятий, с которыми имела дело математика до начала XVII века, составляет и до настоящего времени основу „элементарной математики“, преподаваемой в начальной и средней школе»);
  3. Период математики переменных величин, охватывающий XVII—XVIII века, «который можно условно назвать также периодом „высшей математики“»;
  4. Период современной математики — математики XIX—XX века, в ходе которого математикам пришлось «отнестись к процессу расширения предмета математических исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематического изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм».

Цифры майя

Развитие математики началось вместе с тем, как человек стал использовать абстракции сколько-нибудь высокого уровня. Простая абстракция — числа; осмысление того, что два яблока и два апельсина, несмотря на все их различия, имеют что-то общее, а именно занимают обе руки одного человека, — качественное достижение мышления человека. Кроме того, что древние люди узнали, как считать конкретные объекты, они также поняли, как вычислять и абстрактные количества, такие, как время: дни, сезоны, года. Из элементарного счёта естественным образом начала развиваться арифметика: сложение, вычитание, умножение и деление чисел.

Развитие математики опирается на письменность и умение записывать числа. Наверно, древние люди сначала выражали количество путём рисования чёрточек на земле или выцарапывали их на древесине. Древние инки, не имея иной системы письменности, представляли и сохраняли числовые данные, используя сложную систему верёвочных узлов, так называемые кипу. Существовало множество различных систем счисления. Первые известные записи чисел были найдены в папирусе Ахмеса, созданном египтянами Среднего царства. Индская цивилизация разработала современную десятичную систему счисления, включающую концепцию нуля.

Исторически основные математические дисциплины появились под воздействием необходимости вести расчёты в коммерческой сфере, при измерении земель и для предсказания астрономических явлений и, позже, для решения новых физических задач. Каждая из этих сфер играет большую роль в широком развитии математики, заключающемся в изучении структур, пространств и изменений.

Философия математики

Основная статья: Философия математики

Цели и методы

Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. В общем случае математические понятия и теоремы не обязательно имеют соответствие чему-либо в физическом мире. Главная задача прикладного раздела математики — создать математическую модель, достаточно адекватную исследуемому реальному объекту. Задача математика-теоретика — обеспечить достаточный набор удобных средств для достижения этой цели.

Содержание математики можно определить как систему математических моделей и инструментов для их создания. Модель объекта учитывает не все его черты, а только самые необходимые для целей изучения (идеализированные). Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов получится, если мы сложим вместе два и три, — то можно абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику — количество. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде — одно из главных направлений математического творчества.

Другое направление, наряду с абстрагированием — обобщение. Например, обобщая понятие «пространство» до пространства n-измерений. «Пространство , при является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях».

Изучение внутриматематических объектов, как правило, происходит при помощи аксиоматического метода: сначала для исследуемых объектов формулируются список основных понятий и аксиом, а затем из аксиом с помощью правил вывода получают содержательные теоремы, в совокупности образующие математическую модель.

Основания

Вопрос сущности и оснований математики обсуждался со времён Платона. Начиная с XX века наблюдается сравнительное согласие в вопросе, что надлежит считать строгим математическим доказательством, однако отсутствует согласие в понимании того, что в математике считать изначально истинным. Отсюда вытекают разногласия как в вопросах аксиоматики и взаимосвязи отраслей математики, так и в выборе логических систем, которыми следует при доказательствах пользоваться.

Помимо скептического, известны нижеперечисленные подходы к данному вопросу.

Теоретико-множественный подход

Основная статья: Теория множеств

Предлагается рассматривать все математические объекты в рамках теории множеств, чаще всего с аксиоматикой Цермело — Френкеля (хотя существует множество других, равносильных ей). Данный подход считается с середины XX века преобладающим, однако в действительности большинство математических работ не ставят задач перевести свои утверждения строго на язык теории множеств, а оперируют понятиями и фактами, установленными в некоторых областях математики. Таким образом, если в теории множеств будет обнаружено противоречие, это не повлечёт за собой обесценивание большинства результатов.

Логицизм

Основная статья: Логицизм

Данный подход предполагает строгую типизацию математических объектов. Многие парадоксы, избегаемые в теории множеств лишь путём специальных уловок, оказываются невозможными в принципе.

Формализм

Основная статья: Формализм (математика)

Данный подход предполагает изучение формальных систем на основе классической логики.

Интуиционизм

Основная статья: Интуиционизм

Интуиционизм предполагает в основании математики интуиционистскую логику, более ограниченную в средствах доказательства (но, как считается, и более надёжную). Интуиционизм отвергает доказательство от противного, многие неконструктивные доказательства становятся невозможными, а многие проблемы теории множеств — бессмысленными (неформализуемыми).

Конструктивная математика

Основная статья: Конструктивная математика

Конструктивная математика — близкое к интуиционизму течение в математике, изучающее конструктивные построения. Согласно критерию конструктивности — «существовать — значит быть построенным». Критерий конструктивности — более сильное требование, чем критерий непротиворечивости.

Основные темы

Числа

Понятие «число» первоначально относилось к натуральным числам. В дальнейшем оно было постепенно распространено на целые, рациональные, действительные, комплексные и другие числа.

Натуральные числа
Целые числа
Рациональные числа
Вещественные числа
Комплексные числа Кватернионы

Числа — Натуральные числа — Целые числа — Рациональные числа — Вещественные числа — Комплексные числа — Гиперкомплексные числа — Кватернионы — Октонионы — Седенионы — Гиперреальные числа — Сюрреальные числа — p-адические числа — Математические постоянные — Названия чисел — Бесконечность — Базы

Числовые системы

Счётные
множества

Натуральные числа () • Целые () • Рациональные () • Алгебраические () • Периоды • Вычислимые • Арифметические

Вещественные числа
и их расширения

Вещественные () • Комплексные () • Кватернионы () • Числа Кэли (октавы, октонионы) () • Седенионы () • Альтернионы • Процедура Кэли — Диксона • Дуальные • Гиперкомплексные • Суперреальные • Гиперреальные • Surreal number (англ.)

Другие
числовые системы

Кардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа

См. также

Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные • Числовой луч • Бикватернион

Преобразования

Арифметика Дифференциальное и интегральное исчисление Векторный анализ Анализ
Дифференциальные уравнения Динамические системы Теория хаоса

Арифметика — Векторный анализ — Анализ — Теория меры — Дифференциальные уравнения — Динамические системы — Теория хаоса — Перечень функций

Структуры

Теория множеств — Абстрактная алгебра — Теория групп — Алгебраические структуры — Алгебраическая геометрия — Теория чисел — Топология — Линейная алгебра — Универсальная алгебра — Теория категорий — Теория последовательностей

Пространственные отношения

Более наглядные подходы в математике.

Геометрия Тригонометрия Дифференциальная геометрия
Топология Фракталы

Геометрия — Тригонометрия — Алгебраическая геометрия — Топология — Дифференциальная геометрия — Дифференциальная топология — Алгебраическая топология — Линейная алгебра — Фракталы

Дискретная математика

Дискретная математика включает средства, которые применяются над объектами, способными принимать только отдельные, не непрерывные значения.

Математическая логика Теория вычислимости Криптография Теория графов

Комбинаторика — Теория множеств — Теория решёток — Математическая логика — Теория вычислимости— Криптография — Теория функциональных систем — Теория графов — Теория алгоритмов — Логические исчисления — Информатика

Коды в системах классификации знаний

  • УДК 51
  • Государственный рубрикатор научно-технической информации (ГРНТИ) (по состоянию на 2001 год): 27

Онлайновые сервисы

Существует большое число сайтов, предоставляющих сервис для математических расчётов. Большинство из них англоязычные. Из русскоязычных можно отметить сервис математических запросов поисковой системы Nigma.

См. также

  • Международный конгресс математиков
  • Классические проблемы математики
  • Открытые математические проблемы
  • Философия математики

Популяризаторы науки

  • Перельман, Яков Исидорович
  • Гарднер, Мартин

Примечания

Литература

Энциклопедии Справочники

  • Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров М., 1973 г.

Книги

  • Том I. Арифметика. Алгебра. Анализ М.: Наука, 1987. 432 с.
  • Том II. Геометрия М.: Наука, 1987. 416 с.

Занимательная математика

  • Бобров С. П. Волшебный двурог М.: Детская литература, 1967. 496 с.
  • Дьюдени Г. Э. Кентерберийские головоломки; 200 знаменитых головоломок мира; Пятьсот двадцать головоломок
  • Кэррол Л. История с узелками; Логическая игра
  • Таунсенд Чарлз Барри. Звёздные головоломки; Самые весёлые головоломки; Самые трудные головоломки из старинных журналов
  • Перельман Я.И. Занимательная математика

Ссылки

Портал «Математика»

Математика в Викисловаре

Математика в Викицитатнике

Математика в Викитеке

Математика на Викискладе

Математика в Викиновостях

Видеолекция

  • История математики

Образовательные сайты

  • МЦНМО
  • Математические этюды
  • Мир математических уравнений
  • Сообщество свободного математического моделирования

Дискуссионные математические форумы

  • Математический форум мехмата МГУ
  • Математический форум Math Help Planet

Судьба математической науки

  • В. А. Успенский: Апология математики (+окончание).
  • МАТЕМАТИКИ ИСТОРИЯ

Наука

Гуманитарные • Естественные • Общественные • Прикладные • Технические • Точные

Астрономия • Биология • География • Геология • Информатика • История • Лингвистика • Математика • Медицина • Психология • Политология • Социология • Физика • Филология • Химия • Экономика • Юриспруденция

Список академических дисциплин

Коммутативная алгебра • Теория представлений • Дифференциальная алгебра • Гомологическая алгебра • Универсальная алгебра • Теория категорий

Алгебраическая геометрия • Аналитическая геометрия • Евклидова геометрия • Неевклидова геометрия • Планиметрия • Стереометрия • Тригонометрия

Общая топология • Алгебраическая топология

Дифференциальная геометрия и топология • Геометрическая топология

Портал «Наука»
Алгебра

Элементарная алгебра • Линейная алгебра (Полилинейная алгебра) • Абстрактная алгебра

Абстрактная алгебра
Геометрия и топология Геометрия Топология Смежные
направления
Портал «Математика» | Категория «Математика»

Мастер-класс на тему:«Ассоциации в математике, как приёмы запоминания».

Мастер – класс на тему: «Ассоциации в математике, как приёмы запоминания».

Чумакова Ирина Александровна, учитель математики МОУ СОШ х. Бурковский.

Введение

Как известно, математику должны изучать все дети, и на итоговой аттестации экзамен по математике обязателен для всех! Но мы знаем ещё, что наши ребята имеют разные способности и предпочтения. Очень важно помочь гуманитарно-ориентированным детям при изучении такого непростого школьного предмета, как математика. Трудно порой бывает заинтересовать равнодушных слушателей, ещё сложнее их научить замечать красоту в формулах, выражениях и уравнениях? Изучение математики детьми с гуманитарным складом ума требует особого труда, использования нестандартных приёмов запоминания.

Буду рада, если мои приёмы кому, то помогут, при работе с детьми, имеющими сложности в математике. Необычные, живые и нестандартные методы усвоения, отличаются возможностью привлечь различные ассоциации. Каждый учитель может применять приёмы аналогий по своему усмотрению, как на уроках, так и при внеклассных занятиях по предмету. Данная информация будет полезна и учащимся с 5-9 класс, она вселит надежду на дальнейшее обучение.

Главная цель – это помощь обучающимся при запоминании «сухих» математических фактов, для прочного усвоения и сохранения знаний, для создания каждому ребёнку комфортной атмосферы на уроке.

Предлагаю, обратить внимание на мой опыт и постараться по-другому взглянуть на «строгий» предмет.

Аналогии в математике

» Я больше всего дорожу аналогиями. Они знают все секреты природы, и ими меньше всего следует пренебрегать в геометрии» Ян Каплер.

Аналогия (греч.) — соответствие, сходство.

Приведём аргументы, которые позволят нам обосновать необходимость использования заданий на установление аналогий и ассоциаций:

  1. Межпредметные аналогии помогают интегрировать знания.

  2. Приблизить предмет математики к школьнику, сделать его разным и близким, перевести правила, теоремы, задачи на язык образов, символов, эмоций.

  3. Работа по установлению ассоциаций способствует развитию образной памяти, обороты мышления, воображения.

Кроме того, упражнения по нахождению одинаковых понятий в различных науках (гипербола (мат.) — гипербола (литерат.)) помогают найти их объединяющий стержень, приблизить математику к условиям реальной жизни и возникающих в ней задач.

Литературные метафоры математики

1. Аксиома = ясно как дважды два.

2. Метод от противного = не было бы счастья, да несчастье помогло.

3. Параллельные прямые = небо и земля.

4. Отрезок = было бы начало, будет и конец.

5. Прямая = дорога без начала и конца.

6. Луч = солнечный луч, небо вокруг.

7. Круг и шар = Загадка: без окон, без дверей полга горница людей.

8. Наклонная и её проекция = предмет, приставленный к стене,- это наклонная.

9. Куб = кристаллы соли имеют форму куба.

10. Сравнение отрицательных чисел = из двух зол выбирай меньшее.

11. ОДЗ = каждый гриб в руки берут, да не каждый в кузов кладут.

12. Прямая пропорциональность = много снега — больше хлеба.

13. Обратная пропорциональность = тише едешь — дальше будешь. Дальше положишь — ближе возьмёшь. Меньше знаешь — крепче спишь.

14. Подобные слагаемые = масть к масти подбирается. Сытый голодному не товарищ.

15. Модуль числа = нет худа без добра.

16. Посторонний корень = пятое колесо к телеге.

17. Прямая и обратная теоремы = ты — мне, я — тебе.

18. Доказательство теоремы = не верь глазам своим. (Надо доказать!)

19. Дискриминант = скажи мне, кто твой друг, и я скажу, кто ты.

D 0 – 2 корня.

D 0 – корней нет.

D = 0 – 2 совпадающих корня.

20. Разные способы решения одной задачи = два ботинка на одну ногу.

Межпредметные связи, творческое мышление, ассоциативное мышление, — всё это ведёт к собственным открытиям.

Межпредметные связи

1. Обыкновенные дроби – музыка, деление пирога.

2. Пропорции, % — биология, труд, ИЗО, домоводство.

3. Масштаб- география.

4. Векторы – алгебры, физика, информатика.

5. Преобразование фигур — биология, рисование, литература.

6. Квадратные уравнения — физика, литература.

7. Прямая и обратная пропорциональность — физика, литература.

8. S круга — физика, астрономия.

9. Система координат — география, астрономия.

10. Элементы теории вероятности — биология.

11. Решето Эратосфена — история.

12. Теорема Пифагора, Фалеса, Виета — история.

13. Относительная погрешность – физика, статистика.

14. Проекция наклонной — геометрия, физика.

15. Координатная плоскость – география.

16. Процентное отношение вещества — химия.

17. Гомотетия – рисование, география.

18. Доли, дроби – музыка.

19. Формулы — физика, химия.

20. Куб, параллелепипед — черчение, физика, химия.

Математика 5 класс

1. Не путать понятия число и цифра. Цифры используют для записи чисел так же, как буквы для записи слов. Иногда цифра носит роль числа так же, как буква роль слова. Например: буква (слово) Я или цифра (число) 7.

2. «Говорящие приставки». Запомните некоторые приставки, которые помогут выучить единицы измерения величины.

Кило = 1000 1кг= 1000г килограмм

1км= 1000м километр

Санти = 1м= 100см сантиметр

Деци = 1м= 10дм дециметр

Милли = 1м= 1000мм миллиметр

Микро = 0,000001 1Мега = 1000000м

3. Периметр (от латинского «Пери»- вокруг).

4. Треугольник – ТРИ угла, вершины.

5. Луч – ассоциация с лучом о прожектора (есть начало, а конца нет)

6. Отрезок – «отрезали», есть 2 конца.

7. Прямоугольный параллелепипед – в жизни это обычная коробка, комната, шкаф…

8. Ребро — как кость скелета — служит для построения каркаса.

9. Грань – грани граненого стакана – это уже плоскость.

10. Окружность ассоциируется с кольцом

11. Круг – ассоциация – монета

12. Эллипс – овал

13. Шар – ассоциация с мячом

14. Сфера- ассоциация с резиной (каркасом мяча)

15. Дробь – «дробить» Числитель («чистое небо» -вверху), Знаменатель («земля» -внизу)

Шкалы и координаты

1. «Цена деления» — это понятие можно ассоциировать с длиной шага.

2. Координатный луч имеет свои три особенности, которые можно запомнить с помощью: ННЕ (начало, направление, единичный отрезок).

Округление чисел

Правило «пятёрки» (начиная с 5, идёт увеличение на 1)

Математика 6 класс

1. Делитель а – » он делит а»

2. Кратное а – » оно делится на а». Самого большого числа, кратного а, нет.

3. Признаки делимости помогают установить, будет делиться число без остатка или нет.

На 2 и 5;10: ориентир на одну последнюю цифру числа 2 x 5 = 10 (один 0)

На 4 и 25; 100: ориентир на две последние цифры числа 4 x 25 = 100

На 8 и 125; 1000: ориентир на 3 последние цифры числа 8 x 125 = 1000

На 3 и на 9: Сумма цифр данного числа кратна 3 и 9

4. Решение задач на прямую и обратную пропорциональность

15 кг- 8 деталей 15 машин- 8 минут

45 кг- x деталей 45 машин- x минут

5. -2 -5, читать удобно: -2 да -5. Знак + и – относить к числу, перед которым он стоит

6. -2-5=-7, долг да долг = долг -2+(-5)=-7

7. -9+3 = -6, должны 9 рублей, а в кармане 3, если отдашь долг, то всё равно должен 6

ВНИМАНИЕ! При трудностях в вычислениях, вспомни про деньги (долг и наличные).

Алгебра 7 класс

1. 6x=3 В подобных случаях многие путают, что на что делить.

X= = Запомни так: «то, что без буквы, делить на то, что рядом с буквой»

2. Формулы «сокращённого» умножения = «быстрого» умножения.

a2 – b2 = (a-b)(a+b) В скобках с минусом порядок букв тот же, что в a2 – b2

(a b)2 = a2 2ab+ b2 — у каждого одночлена II степень

a3 — a3 = (a-b)(a2 + ab + b2) в «маленькой» скобке знак – совпадает со знаком «-» в левой части, в «длинной» скобке всё «+»

a3 + a3 = (a+b)(a2 — ab + b2) в «короткой» скобке +, как в левой части, в «длинной» скобке наоборот, есть «-«.

(a-b)3 = a3 – 3a2 b+ 3ab2 – b3 чередование знаков справа; каждый одночлен III степени

Общее для всех формул

Если в левой части формул есть ( ), то в правой части скобок нет, и наоборот.

Геометрия 7 класс

1. Биссектриса – это «киса», которая бегает по углам и делит угол пополам.

2. Медиана- от лат. «Media» -середина

3. ||-ые прямые — ассоциация: рельсы или линия земли и линия горизонта.

4. Теорема

Доказательство

Формулировка нужно, чтобы только

нужна для доказать то, о чём

решения задач гласит теорема.

5. Смежные углы- как смежные комнаты = одна стена общая, а у углов- одна сторона общая.

6. Вертикальные углы — ассоциация с (буква х)

7. Доказательство от противного или от противоположного.

8. Обратная теорема к данной. Условие заключение.

9. Свойство медианы равнобедренного треугольника. Если к основанию проведена: Биссектриса Медиана Высота ( приём запоминания- «автомобиль БМВ»)

10. Центр, вписанный в треугольник окружности — точка пересечения биссектрис углов треугольника.

Центр, описанный около треугольника окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Как не перепутать? («В» похожа на «б») Опис.= сер.пер.

Алгебра 8 класс

И = = система Или = [ = совокупность

1. При сокращении дробей вида помнить правила:

-начинай преобразовывать-то, что проще (выносить за скобки, группировать)

-числитель подскажет, что делать в знаменателе и наоборот

-надо сократить, когда появиться что-то одинаковое в числителе и знаменателе

2. Уравнения вида: О*x = 5 O*x = О

Ответ: корней нет Ответ: x- любое число (множество корней)

Как не спутать?

В уравнении О * x= 0 можно откинуть x, то получится ОО, а это похоже на знак бесконечности.

3. Что значит слово «очевидно» — оченьвидно (очень видно)

4. Теорема Виета

ax2 + bx+ c = 0 , a=1, D 0, то

x1+x2= -b Как запомнить?

x1xx2= c -b=II коэффициент, взятый с противоположным знаком. (бэ- II буква в русском алфавите)

с- сводный член, связан с произведением корней: з-с парные согласные.

5. x a x a

Штрихи от a идут вправо Штрихи от a идут влево

Геометрия 9 класс

1. Схема четырёхугольников

Дед, у него

сын и дочь

внуки

правнук

2. Средняя линия треугольника

Средняя — середина сторон треугольника.

3. Построение IV пропорционального отрезка

Искомый отрезок x сделать сначала IV членом пропорции! =

4. СOS α=

SIN α =

СOS -«прилежный», SIN — «противный»

tg α = =

сtg α = = одинаковая буква сначала (с)

5. Не учи всю таблицу! Знай первую строку и свойства функций!

Используйте «правило снежинки»

sin α

cos α

tg α

ctg α

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *